Carl Gustav Jacob Jacobi.
(10 de diciembre de 1804, Potsdam, Prusia, actualmente Alemania – 18 de febrero de 1851, Berlín, Alemania).
Por Roger A. Jiménez A.
Asociación Larense de Astronomía, ALDA.
Matemático alemán, considerado por muchos, el más grande matemático de todos los tiempos. Hizo contribuciones básicas a la teoría de las funciones elípticas. Llevó a cabo importantes investigaciones en ecuaciones diferenciales parciales de primer orden y las aplicó a las ecuaciones diferenciales de la dinámica.
Carl Jacobi provenía de una familia judía, pero al nacer recibió el nombre de estilo francés Jacques Simon. Su padre, Simon Jacobi, era banquero y su familia era próspera. Fue el segundo de cuatro hijos de la familia, su hermano mayor, Moritz, se convirtió en un físico famoso; su hermana Therese, era la tercera y Eduard, el menor siguió la profesión de su padre como banquero.
La primera educación de Carl fue dada por un tío materno, y luego, antes de cumplir sus doce años, ingresó en el Gymnasium de Potsdam. Su tío lo había instruido muy bien, por lo que Carl tenía talentos notables, por ello, en 1817, fue nivelado de su primer año de escolaridad al último año, terminando ese ciclo académico con solo 12 años y alcanzado el nivel necesario para ingresar a la universidad. La Universidad de Berlín, sin embargo, no aceptaba estudiantes menores de 16 años, por lo que Jacobi tuvo que permanecer en la misma clase en el Gymnasium de Potsdam hasta la primavera de 1821.
Carl siguió adelante con sus estudios académicos en otras cátedras durante esos cuatro años en la misma clase del Gymnasium de Potsdam. Recibió los más altos premios de latín, griego e historia, pero fue el estudio de las matemáticas lo que más le apasionó y en lo que más hizo énfasis. Cuando dejó la institución, había leído, estudiado y realizado investigaciones de matemáticas avanzadas a cuenta propia; con el libro Introduction in analysin infinitorum de Euler, estuvo tratando de resolver ecuaciones quínticas por radicales.
Carl ingresó en la Universidad de Berlín en 1821, asistió a cursos de filosofía, clásicos y matemáticas durante dos años antes de escoger definitivamente las matemáticas. Simultáneamente asistió a cursos de alto nivel en matemáticas, ya que el nivel de la educación universitaria en matemáticas en Alemania para ese momento era bastante pobre. Autodidacta por naturaleza estuvo leyendo las obras de Lagrange y de otros matemáticos destacados a la par de sus actividades académicas.
Para 1824, Carl había aprobado los exámenes necesarios para poder enseñar matemáticas, griego y latín en escuelas secundarias. En 1825, se le ofreció un puesto de profesor en el Joachimsthalsche Gymnasium, una de las principales escuelas de Berlín. Había presentado su tesis doctoral en la Universidad de Berlín incluso antes de recibir la oferta de la plaza de profesor.
Carl presentó un documento sobre las funciones iteradas a la Academia de Ciencias de Berlín en 1825. Sin embargo, los árbitros no consideraron que valiera la pena publicar los resultados, por lo que su trabajo no fue publicado. El artículo se publicó finalmente en 1961 con un comentario criticando las opiniones de los árbitros que en 1825 habían objetado el mismo. Así iniciaría un notable récord de publicaciones científicas (tanto por el número de obras como por su calidad) en los años siguientes.
Para el año 1826 enseñaba en la Universidad de Berlín y luego se trasladó a la Universidad de Königsberg, donde se unió a Franz Neumann, matemático, y a Bessel, que era profesor de astronomía en Königsberg. Para ese entonces ya había hecho importantes descubrimientos en la teoría de números. Escribió a Gauss para informarle de los resultados sobre residuos cúbicos que había obtenido, inspirándose en los resultados de este sobre residuos cuadráticos y bicuadráticos. Impresionado, Gauss escribió a Bessel saber quién era el joven. Pero Carl tenía nuevas ideas notables sobre las funciones elípticas (al igual que Abel de manera independiente) y en 1827 le escribió a Legendre, que era el principal experto en el tema. Legendre vio que Carl había hecho avances fundamentales en su tema favorito, tanto que ajustó sus trabajos en base a la nueva teoría desarrollada independientemente por Carl y Abel. En 1829 Carl conoció personalmente a Legendre y a otros grandes matemáticos franceses como Fourier y Poisson durante una visita a París.
El trabajo fundamental de Carl sobre la teoría de las funciones elípticas que tanto había impresionado a Legendre, se basaba en cuatro funciones theta. Su artículo Fundamenta nova theoria functionum ellipticarum, publicado en 1829, hizo contribuciones fundamentales a esta teoría de las funciones elípticas.
En 1833, Carl se interesó más por la física y abandonó un poco las matemáticas. En 1834 recibió un trabajo de Kummer, que en ese momento era profesor en un Gymnasium en Liegnitz. Carl reconoció inmediatamente el talento matemático de Kummer, quien había hecho avances más allá de los suyos. Emocionado, priorizó sus trabajos matemáticos y para 1834, demostró que si una función de un solo valor de una variable es doblemente periódica, entonces la relación de los períodos es irreal. Este resultado impulsó muchos más trabajos en esta área, en particular por parte de Liouville y Cauchy.
Las importantes investigaciones de Carl en ecuaciones diferenciales parciales de primer orden, hicieron posible su posterior aplicación a las ecuaciones diferenciales de la dinámica. También trabajó sobre los determinantes y estudió el determinante funcional que ahora se llama jacobiano.
Uno de los resultados más bonitos de la teoría global de las curvas de Carl, es un teorema que cita: “la imagen esférica de las direcciones normales a lo largo de una curva cerrada diferenciable en el espacio divide la esfera unitaria en regiones de área igual”.
En julio de 1842, Carl y Bessel asistieron a la reunión de la Asociación Británica para el Avance de la Ciencia en Manchester como representantes de Prusia. La esposa de Carl acompañó a los dos matemáticos. Regresaron a Königsberg vía París, donde Carl dio conferencias en la Academia de Ciencias. Al año siguiente, Carl se enfermó y le diagnosticaron diabetes.
Viajo a Italia por recomendaciones de su médico, allí el clima lo ayudó a recuperarse y comenzó a publicar de nuevo, algo que su salud le había impedido durante algún tiempo. Su interés por la historia de las matemáticas afloró en su estancia en Italia, donde trabajó con los manuscritos de la Aritmética de Diofanto, que se conservaban en el Vaticano.
En junio de 1844, se trasladó a Berlín, donde entre 1847 y 1848 una serie de conferencias sobre mecánica analítica, en las que presentaba una discusión y crítica de la mecánica de Lagrange. Ese último año, las condiciones políticas en la Confederación Germánica se habían deteriorado tanto que provocó revoluciones en muchos estados, así como combates en Berlín. Carl pronunció un discurso político en el Club Constitucional de Berlín que molestó tanto a los monárquicos como a los republicanos, lo que se tradujo en la negativa del gobierno prusiano a su solicitud de unirse a la Universidad de Berlín.
En el verano de 1849 se mudó con su familia a la ciudad de Gotha. Meses más tarde aceptó una cátedra en la Universidad de Viena. El gobierno de Prusia, para no perder tan notable personaje reconsideró la solicitud de Carl para unirse a la Universidad de Berlín y aceptó que este diera clases en dicha universidad mientras su familia permanecía en Gotha.
Luego de una vacaciones junto a su familia en el verano de 1850 en Gota, en enero de 1851 contrajo la gripe, aun convaleciente de esta contrajo viruela, muriendo pocos días después de contraerla.
Principales contribuciones a las matemáticas y otras ciencias:
§ Teoría de las funciones elípticas y su relación con la función theta elíptica. Desarrollada en su gran tratado Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum (1829), y en artículos posteriores en el Crelle's Journal.
§ Avances en las ecuaciones diferenciales y a la mecánica clásica, en particular con la teoría de Hamilton-Jacobi.
§ Contribuciones al desarrollo algebraico (su principal fortaleza), como lo demuestra su larga lista de artículos en el Crelle's Journal y en otros lugares desde 1826 en adelante. Con estos trabajos abrió nuevos campos para la investigación, por ejemplo, la inversión de integrales elípticas y la naturaleza de las funciones elípticas y theta.
§ Teorema de funciones en 1835, con el cual logró demostrar la clasificación de las funciones periódicas (incluyendo las elípticas): “Si una función univariante de un solo valor es multiperiódica, entonces dicha función no puede tener más de dos períodos, y la razón de los períodos no puede ser un número real”.
§ Descubrimiento de las propiedades fundamentales de las funciones theta, incluyendo la ecuación funcional y la fórmula del producto triple de Jacobi, así como muchos otros resultados sobre series q y series hipergeométricas.
§ Solución del problema de inversión de Jacobi para el mapa hiperelíptico de Abel por Weierstrass en 1854, donde introdujo la función theta hiperelíptica y más tarde la función theta general de Riemann para curvas algebraicas de género arbitrario.
§ La aplicación de las funciones elípticas a la teoría de números (siendo el primero en hacerlo), demostrando el teorema de los dos cuadrados de Fermat y el teorema de los cuatro cuadrados de Lagrange.
§ Trabajos adicionales en teoría de números: nuevas pruebas de reciprocidad cuadrática y la introducción del símbolo de Jacobi; contribuciones a las leyes superiores de reciprocidad, investigaciones de fracciones continuas y la invención de las sumas de Jacobi, continuaron el trabajo de Gauss.
§ Fue uno de los primeros fundadores de la teoría de los determinantes. Inventó el determinante jacobiano formado a partir de las n2 derivadas parciales de n funciones dadas de n variables independientes, que desempeña un papel importante en los cambios de variables en integrales múltiples y en muchas investigaciones analíticas. Reintrodujo la notación ∂ derivada parcial de Legendre, que se convertiría en estándar.
§ Introducción de los polinomios simétricos que ahora se conocen como polinomios de Schur a partir de los que derivó las identidades de Jacobi-Trudi.
§ La Fórmula de Desnanot-Jacobi para los determinantes, que subyacen a las relaciones de Plücker para los grassmannianos.
§ La Identidad de Jacobi, el análogo de la asociatividad para la operación de corchetes de Lie en la teoría de campos vectoriales de Lie.
§ Introducción de la integral de Jacobi para un sistema de coordenadas sideral, realizando un valioso aporte a la teoría planetaria y otros problemas dinámicos particulares de la mecánica celeste.
En resumen Carl fue un gran y notable matemático, sus trabajos trascendieron a otras áreas y fueron de suma importancia en la física, específicamente en el campo de la física matemática y la física clásica y cuántica, así como en la astronomía, con sus importantes contribuciones a la teoría planetaria.
Referencias:
https://mathshistory.st-andrews.ac.uk/Biographies/Jacobi/
https://en.wikipedia.org/wiki/Carl_Gustav_Jacob_Jacobi
https://www.secretsofuniverse.in/carl-jacobi/
